Comprender la ley de los grandes números en los juegos de azar

La ley de los grandes números es un principio fundamental de la teoría de la probabilidad que tiene profundas implicaciones para el juego. Aunque los jugadores ocasionales a menudo lo malinterpretan o lo aplican erróneamente, este concepto matemático constituye la espina dorsal del funcionamiento de los casinos y explica por qué obtienen beneficios sistemáticamente a largo plazo.

En esencia, la ley de los grandes números afirma que, a medida que aumenta el tamaño de una muestra, su media se aproxima al valor esperado. En el contexto de los juegos de azar, los resultados reales tenderán a alinearse con las probabilidades matemáticas a lo largo de un número suficientemente grande de apuestas o jugadas.

Comprender esta ley es crucial para los jugadores. Explica por qué una racha de suerte no cambia las probabilidades subyacentes, por qué los juegos de casino están diseñados como están diseñados y por qué la casa siempre tiene ventaja a largo plazo. La ley de los grandes números desmitifica la naturaleza del azar en los juegos de azar, revelando las frías y duras matemáticas que se esconden tras el brillo y la emoción de los casinos.

¿Qué es la ley de los grandes números?

Este artículo de Casinoz profundiza en los entresijos de la ley de los grandes números en su aplicación a diversas formas de juego.

Definición y concepto matemático

La ley de los grandes números es un principio de la teoría de la probabilidad, que afirma que a medida que aumenta el número de ensayos de un proceso aleatorio, la media de los resultados convergerá hacia el valor esperado. Más formalmente, afirma que la media muestral se aproxima a la media teórica o valor esperado a medida que aumenta el tamaño de la muestra.

En términos matemáticos, sean X₁, X₂, ..., Xn variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con valor esperado μ. La ley de los grandes números establece que la media muestral (X₁ + X₂ + ... + Xn) / n converge a μ a medida que n se aproxima a infinito.

Esta ley se presenta en dos formas:

1. Ley débil de los grandes números: La probabilidad de que la media muestral se desvíe del valor esperado en cualquier cantidad fija se aproxima a cero a medida que aumenta el tamaño de la muestra.
2. Ley fuerte de los grandes números: La media muestral converge casi con seguridad al valor esperado.

Antecedentes históricos y desarrollo

El concepto se remonta al siglo XVI, pero Jacob Bernoulli lo introdujo formalmente en su obra "Ars Conjectandi" (El arte de conjeturar), publicada póstumamente en 1713. El teorema de Bernoulli, como se conoció inicialmente, era un caso especial de la ley débil de los grandes números. Entre los acontecimientos clave en la historia de la ley se incluyen:

• 1713: Jacob Bernoulli demuestra la ley débil para los ensayos de Bernoulli.
• 1837: Siméon Denis Poisson extiende la ley a variables con varianza finita.
• 1867: Pafnuty Chebyshev proporciona una prueba utilizando la desigualdad que lleva su nombre.
• 1909: Émile Borel demuestra la ley fuerte para el lanzamiento de monedas.
• 1933: Andrey Kolmogorov proporciona una demostración general de la ley fuerte.

Desde entonces, la ley de los grandes números se ha convertido en una piedra angular de la teoría de la probabilidad y la estadística, con aplicaciones que van mucho más allá de los juegos de azar, como la física, la estadística y la teoría financiera.

Aplicación de la ley de los grandes números a los juegos de azar

Analicemos los principios de la ley en los juegos de azar.

Explicación del valor esperado

En los juegos de azar, el valor esperado (VE) es un concepto crucial directamente relacionado con la ley de los grandes números. El VE de una apuesta es el resultado medio si la apuesta se repitiera muchas veces. Se calcula multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando después estos productos.

Por ejemplo, en una apuesta simple de lanzamiento de moneda en la que se gana 1 $ si sale cara y se pierde 1 $ si sale cruz:

EV = (0,5 × $1) + (0,5 × -$1) = $0

La ley de los grandes números nos dice que, a medida que haga esta apuesta repetidamente, sus ganancias medias convergerán a este valor esperado de 0 $.

Resultados a largo plazo frente a resultados a corto plazo

La ley de los grandes números se refiere fundamentalmente al comportamiento a largo plazo. A corto plazo, las desviaciones significativas del valor esperado no sólo son posibles, sino habituales. Esta es la razón por la que los jugadores pueden experimentar rachas ganadoras o rachas perdedoras.

Sin embargo, estas desviaciones tienden a igualarse a medida que aumenta el número de apuestas. Los resultados reales convergerán hacia la expectativa matemática. Esta es la razón por la que los casinos, que manejan un gran volumen de apuestas, pueden predecir con fiabilidad sus beneficios a lo largo del tiempo.

Para los jugadores individuales:

• A corto plazo: Los resultados pueden variar mucho del valor esperado. Un jugador puede ganar mucho o perder mucho en una sola sesión.
• A largo plazo: Con el juego continuado, los resultados tienden a aproximarse más al valor esperado. Si el juego tiene un valor esperado negativo (como la mayoría de los juegos de casino), es probable que el juego continuado genere pérdidas.

Para los casinos:

• A corto plazo: Las grandes ganancias o pérdidas individuales pueden afectar a los resultados diarios.
• A largo plazo: El gran número de apuestas realizadas asegura que los resultados se ajusten a los valores esperados, garantizando beneficios si los juegos están diseñados con ventaja de la casa.

Este principio explica por qué los casinos pueden ofrecer grandes botes en juegos como las máquinas tragaperras. Mientras que un individuo puede ganar una suma que le cambie la vida, el casino sabe que a lo largo de millones de jugadas, estos raros grandes pagos se ven compensados con creces por las muchas pequeñas pérdidas de otros jugadores.

Ejemplos en varios juegos de azar

La ley de los grandes números se manifiesta de forma diferente en los distintos juegos de azar. Examinemos cómo se aplica a algunos juegos de casino populares:

Ruleta:

En la ruleta europea, hay 37 números (0-36). Cuando se apuesta a un solo número

• Probabilidad de ganar: 1/37
• Pago: 35 a 1
• Valor esperado: (1/37 × 35) + (36/37 × -1) ≈ -0,027 o -2,7%.

Durante unas cuantas tiradas, los resultados pueden variar mucho. Sin embargo, la pérdida media convergerá hacia el 2,7% de la cantidad total apostada en miles de tiradas.

Máquinas tragaperras:

Las máquinas tragaperras modernas utilizan generadores de números aleatorios para determinar los resultados. Aunque a menudo no se revelan las probabilidades exactas, la ley de los grandes números garantiza que, a lo largo de muchas jugadas, los pagos reales convergerán con el porcentaje de retorno al jugador (RTP) programado.

Por ejemplo, si una máquina tiene un RTP del 95%:

• A corto plazo: Un jugador puede experimentar ganancias o pérdidas significativas.
• A largo plazo: Por cada 100 $ apostados, la rentabilidad media se acercará a los 95 $.

Blackjack:

El Blackjack es interesante porque las decisiones del jugador pueden afectar a las probabilidades. Con una estrategia básica perfecta:

• Ventaja de la casa: Alrededor del 0,5% (varía según las reglas específicas).

En muchas manos, un jugador con estrategia perfecta perderá cerca del 0,5% del total de sus apuestas. Sin embargo, el conteo de cartas puede cambiar potencialmente las probabilidades a favor del jugador, aunque esto requiere jugar un gran número de manos para darse cuenta de la ventaja.

Apuestas deportivas:

En las apuestas deportivas, la ley de los grandes números se aplica tanto a las casas de apuestas como a los apostantes:

• Las casas de apuestas: Fijan las cuotas para asegurarse un margen de beneficio en muchas apuestas.
• Apostantes: Incluso los apostantes hábiles con un valor esperado positivo necesitan un gran tamaño de muestra de apuestas para superar la varianza a corto plazo.

Por ejemplo, un apostante con un porcentaje de victorias del 54% en apuestas a cuotas iguales tiene un valor esperado positivo, pero podría tener fácilmente un mes de pérdidas debido a la varianza. La ley de los grandes números sugiere que su porcentaje real de victorias convergerá al 54% a lo largo de muchas apuestas.

Estos ejemplos ilustran cómo la ley de los grandes números subyace en la mecánica de varios juegos de azar. Aunque los resultados a corto plazo pueden variar drásticamente, las tendencias a largo plazo reflejan invariablemente las probabilidades subyacentes y los valores esperados.

Conceptos erróneos y falacia del jugador

Malentendidos comunes:

Muchos jugadores malinterpretan o aplican erróneamente la ley de los grandes números, lo que conduce a varios conceptos erróneos comunes:

• Resultados "debidos": Algunos creen que si un evento no ha ocurrido en un tiempo, es "debido" que ocurra. Por ejemplo, pensar que es más probable que salga negro después de una larga racha de rojos en la ruleta.
• Equilibrio en muestras pequeñas: Esperar que los resultados a corto plazo se "equilibren" para coincidir con las probabilidades a largo plazo. Por ejemplo, pueden creer que una victoria debe llegar pronto después de perder varias apuestas seguidas.
• Rachas calientes y frías: Suponer que los resultados pasados influyen en las probabilidades futuras en eventos independientes. Esto puede llevar a un jugador a seguir jugando a una máquina tragaperras "caliente", creyendo que es más probable que dé premio.
• Pasar por alto la independencia: No reconocer que en la mayoría de los juegos de azar, cada evento es independiente de los resultados anteriores.
• Malinterpretar el "largo plazo": Creer que jugar durante varias horas o días es suficiente para que la ley de los grandes números surta efecto cuando, en realidad, suele requerir miles o millones de intentos.

Relación entre la falacia del jugador y la ley de los grandes números:

La falacia del jugador es la creencia errónea de que si algo ocurre con más frecuencia de lo normal durante un periodo determinado, ocurrirá con menos frecuencia en el futuro (o viceversa). Esta falacia contradice directamente el verdadero significado de la ley de los grandes números.

Puntos clave sobre la falacia del jugador:

• Supone una "fuerza equilibradora" en los sucesos aleatorios, que no existe.
• No reconoce la independencia de los acontecimientos en la mayoría de los escenarios de juego.
• A menudo lleva a aumentar las apuestas después de las pérdidas, basándose en la falsa creencia de que "toca" ganar.

Aunque la ley de los grandes números establece que las frecuencias a largo plazo convergerán a las probabilidades esperadas, no predice las fluctuaciones o patrones a corto plazo. La falacia también puede funcionar a la inversa: asumir que una racha continuará porque está "caliente" cuando cada evento es independiente.

Ventaja del casino y ventaja de la casa

Los casinos se basan en gran medida en la ley de los grandes números para garantizar la rentabilidad. He aquí cómo aprovechan este principio:

• El volumen de juego: Los casinos fomentan el juego de gran volumen, sabiendo que más apuestas acercan los resultados al valor esperado.
• Múltiples juegos: Al ofrecer numerosos juegos simultáneamente, los casinos crean un gran tamaño de muestra en toda su operación.
• Funcionamiento continuo: el funcionamiento ininterrumpido aumenta el número total de apuestas realizadas, lo que ajusta aún más los resultados a las expectativas matemáticas.
• Gestión de fondos: Los casinos mantienen grandes reservas de efectivo para hacer frente a las fluctuaciones a corto plazo y a las altas apuestas.
• Diseño del juego: Todos los juegos llevan incorporada una ventaja de la casa, lo que garantiza la rentabilidad a largo plazo.

Explicación de la ventaja de la casa en diferentes juegos

La ventaja de la casa es el porcentaje medio de cada apuesta que el casino espera conservar a largo plazo. Es una aplicación directa de la ley de los grandes números. He aquí algunos ejemplos:

Ruleta americana

• Ventaja de la casa: 5,26% en la mayoría de las apuestas.
• Razón: 38 números (incluidos el 0 y el 00), pero paga 35:1 en apuestas de un solo número.

Blackjack

• Ventaja de la casa: Entre el 0,5% y el 2% (varía según las reglas y la habilidad del jugador).
• Razón: Las decisiones del jugador afectan al resultado, pero la banca actúa en último lugar.

Máquinas tragaperras

• Ventaja de la casa: Normalmente del 2% al 15%, pero puede variar mucho.
• Motivo: Porcentaje de retorno al jugador (RTP) programado.

Dados

• Ventaja de la casa: Varía según la apuesta, desde el 1,41% en Pasar/No Pasar hasta más del 16% en algunas apuestas de proposición.
• Motivo: Compleja estructura de probabilidades con múltiples tipos de apuesta.

Baccarat

• Ventaja de la casa: 1,06% en la apuesta de la banca, 1,24% en la apuesta del jugador.
• Motivo: La banca tiene una ligera ventaja, pero el casino se lleva una comisión por la ganancia de la banca.

La ventaja de la casa garantiza que el casino se beneficiará de muchas apuestas. Los jugadores individuales pueden ganar a corto plazo, pero la ley de los grandes números garantiza que la ventaja del casino se manifestará con el tiempo.

Implicaciones para los jugadores

Estrategias de gestión del riesgo

Comprender la ley de los grandes números puede ayudar a los jugadores a desarrollar estrategias de gestión del riesgo más eficaces:

• Gestión del capital: Establezca límites estrictos sobre cuánto está dispuesto a perder. Esto ayuda a mitigar el impacto de las variaciones a corto plazo.
• Limitación de las sesiones: Limite la duración de las sesiones de juego para reducir la exposición a la ventaja de la casa.
• Objetivos de ganancias: Establezca objetivos de ganancias realistas y prepárese para retirarse cuando los alcance.
• Selección de juegos: Elija juegos con menor ventaja de la casa para prolongar el tiempo de juego y mejorar las probabilidades generales.
• Evite perseguir las pérdidas: Reconozca que las pérdidas anteriores no influyen en los resultados futuros.
• Acepte la varianza: Comprenda que los resultados a corto plazo pueden desviarse significativamente de los valores esperados.
• Perspectiva a largo plazo: Considere el juego como un entretenimiento más que como una forma de ganar dinero de forma constante.

Importancia de entender la probabilidad

Una sólida comprensión de la probabilidad es crucial para el juego responsable:

• Expectativas realistas: Comprender las probabilidades reales ayuda a establecer expectativas realistas sobre los posibles resultados.
• Reconocer sucesos independientes: La mayoría de los juegos de azar implican acontecimientos independientes, en los que los resultados pasados no influyen en los resultados futuros.
• Evaluar los sistemas de apuestas: Muchos sistemas de apuestas fracasan porque no cambian las probabilidades subyacentes.
• Evaluar las rachas "calientes" y "frías": Reconocerlas como fluctuaciones normales a corto plazo y no como patrones predictivos.
• Calcular el valor esperado: Estimar el valor esperado de las apuestas puede ayudar a tomar mejores decisiones.
• Comprender la ventaja de la casa: Conocer la ventaja de la casa en los distintos juegos y apuestas permite tomar decisiones más informadas.
• Reconocer los sesgos cognitivos: Ser consciente de sesgos como la falacia del jugador puede ayudar a evitar errores comunes en la toma de decisiones.
• Pensar a largo plazo: Comprender que la ley de los grandes números opera a lo largo de muchas pruebas puede evitar el exceso de confianza basado en resultados a corto plazo.

Aplicar estas estrategias de gestión del riesgo y desarrollar una sólida comprensión de la probabilidad puede ayudar a los jugadores a tomar decisiones más informadas. Esto no garantiza ganar, pero puede conducir a un comportamiento de juego más responsable y potencialmente ampliar el tiempo de juego dentro de un presupuesto determinado.

Varianza estadística y su impacto

Desviaciones a corto plazo de los resultados esperados

Mientras que la ley de los grandes números describe el comportamiento a largo plazo, los resultados a corto plazo pueden desviarse significativamente de los resultados esperados. Esta desviación se conoce como varianza o volatilidad.

Puntos clave sobre las desviaciones a corto plazo:

• Magnitud: Los resultados a corto plazo pueden variar ampliamente con respecto al valor esperado, lo que a veces se traduce en ganancias o pérdidas significativas.
• Imprevisibilidad: Estas desviaciones son impredecibles en dirección y tamaño.
• Duración: "A corto plazo" puede durar más de lo que muchos jugadores creen, pudiendo abarcar cientos o incluso miles de pruebas.
• Impacto en la percepción: Estas desviaciones pueden llevar a conceptos erróneos sobre la "imparcialidad" del juego o la "suerte" personal.

Volatilidad en los resultados del juego

La volatilidad se refiere al grado de variación de los resultados a lo largo del tiempo. Comprender la volatilidad es crucial tanto para los casinos como para los jugadores.

Juegos de alta o baja volatilidad:

• Alta volatilidad (por ejemplo, máquinas tragaperras con grandes botes): Oscilaciones más extremas en los resultados a corto plazo, con la posibilidad de grandes ganancias y rachas perdedoras más largas.
• Baja volatilidad (por ejemplo, el blackjack): Resultados más constantes en periodos más cortos, pero normalmente ganancias máximas más pequeñas.

Implicaciones para la banca:

• Los juegos de mayor volatilidad requieren mayores fondos para soportar posibles caídas.
• Los juegos de menor volatilidad permiten jugar más tiempo con un mismo bankroll.

Compensación entre riesgo y recompensa:

• Una mayor volatilidad suele estar relacionada con la posibilidad de obtener mayores ganancias.
• Una menor volatilidad suele significar ganancias más frecuentes pero menores.

Impacto psicológico:

• La alta volatilidad puede ser más emocionante, pero también más estresante para algunos jugadores.
• Una volatilidad baja puede proporcionar una experiencia de juego más estable y predecible.

Duración de la sesión:

• En los juegos de alta volatilidad, es más probable que las sesiones cortas den lugar a ganancias o pérdidas significativas.
• Los juegos de baja volatilidad suelen requerir sesiones más largas para ver desviaciones significativas del valor esperado.

Varianza y elección del juego:

Los jugadores deben elegir juegos con niveles de volatilidad que se ajusten a su tolerancia al riesgo y a sus objetivos. Los casinos ofrecen una gama de opciones de volatilidad para satisfacer las diferentes preferencias de los jugadores.

Comprender la varianza estadística ayuda a explicar por qué los resultados del juego pueden diferir drásticamente de las expectativas a corto plazo, incluso en juegos justos.

El papel de la tecnología en el juego moderno

Generadores de números aleatorios

Losgeneradores de números aleatorios (RNG) son cruciales en el juego moderno, especialmente en los entornos digitales y en línea. Garantizan la aleatoriedad necesaria para el juego limpio y la aplicación de la ley de los grandes números.

Puntos clave sobre los RNG:

Función: Los RNG producen secuencias de números que son estadísticamente aleatorias.

Tipos:

1. Generadores de números pseudoaleatorios (PRNG): Basados en algoritmos, deterministas pero con apariencia aleatoria.
2. Generadores de números aleatorios verdaderos (TRNG): Basados en procesos físicos, realmente impredecibles.

Aplicaciones: Utilizados en máquinas tragaperras, casinos en línea y versiones electrónicas de juegos de mesa.

Pruebas y certificación: Auditados periódicamente por organismos externos para garantizar la imparcialidad y la aleatoriedad.

Impacto en los resultados del juego: Garantiza que cada jugada sea independiente e imparcial, de acuerdo con la teoría de la probabilidad.

El juego en línea y la ley de los grandes números

El aumento de las apuestas en línea tiene implicaciones significativas para la aplicación de la ley de los grandes números.

• Mayor volumen: Las plataformas en línea pueden gestionar muchos más juegos simultáneamente que los casinos físicos, lo que acelera la convergencia hacia los valores esperados.
• Recopilación de datos: Los casinos en línea pueden rastrear y analizar fácilmente una gran cantidad de datos de juego, lo que permite una alineación más precisa con las probabilidades teóricas.
• Variedad de juegos: Las plataformas online ofrecen varios juegos, cada uno con sus probabilidades y niveles de volatilidad.
• Velocidad de juego: Rondas de juego más rápidas en línea significan más pruebas en menos tiempo, alcanzando potencialmente resultados "a largo plazo" más rápidamente.
• Accesibilidad: La disponibilidad 24 horas al día, 7 días a la semana y la facilidad de acceso pueden llevar a jugar con más frecuencia, exponiendo potencialmente a los jugadores a mayores efectos a largo plazo de la ventaja de la casa.
• Límites de las mesas virtuales: Los casinos en línea pueden ofrecer apuestas mínimas más bajas, lo que permite a los jugadores ampliar su tiempo de juego y experimentar más pruebas con un bankroll determinado.
• Transparencia: Muchas plataformas en línea publican porcentajes teóricos de retorno al jugador, lo que hace que los resultados esperados a largo plazo sean más transparentes.
• Problemas de regulación: El juego en línea es global, lo que plantea retos a la hora de garantizar el juego limpio y el cumplimiento de las normas de aleatoriedad en todas las jurisdicciones.
• Seguimiento del comportamiento del jugador: Las plataformas en línea pueden realizar un seguimiento más exhaustivo del comportamiento de los jugadores, lo que permite detectar antes posibles patrones de juego problemático.
• Sistemas automatizados: Muchos casinos online utilizan IA y aprendizaje automático para optimizar sus operaciones basándose en la ley de los grandes números y en el comportamiento de los jugadores.

La integración de la tecnología en el juego ha hecho, en muchos sentidos, que la aplicación de la ley de los grandes números sea más precisa y transparente.

Juego responsable y ley de los grandes números

Comprender la ley de los grandes números puede contribuir significativamente a las prácticas de juego responsable:

• Expectativas realistas: Reconocer que los resultados a largo plazo se alinearán con las probabilidades matemáticas ayuda a establecer expectativas realistas sobre ganar y perder.
• Establecimiento de presupuestos: Conocer la ventaja de la casa y el valor esperado de los juegos permite una estimación más precisa de las pérdidas potenciales a lo largo del tiempo.
• Selección de juegos: Elegir juegos con menor ventaja de la casa o mayores porcentajes de retorno al jugador puede prolongar el tiempo de juego y reducir las pérdidas a largo plazo.
• Reconocer el azar: Entender que cada evento es normalmente independiente ayuda a evitar el pensamiento falaz sobre resultados "debidos" o rachas calientes.
• Control emocional: Saber que los resultados a corto plazo pueden variar mucho de los valores esperados puede ayudar a mantener el equilibrio emocional durante las rachas ganadoras o perdedoras.
• Evitar perseguir las pérdidas: Comprender que las pérdidas pasadas no influyen en los resultados futuros puede evitar el peligroso comportamiento de intentar "recuperar" las pérdidas.

Aunque la ley de los grandes números es un concepto poderoso, es crucial comprender sus limitaciones en el contexto de las experiencias individuales de juego:

• Tamaño de la muestra: Una sola sesión de juego, o incluso varias sesiones, puede no constituir una muestra lo suficientemente grande como para que la ley sea aplicable.
• Marco temporal: El "largo plazo" en la ley de los grandes números a menudo requiere muchas más pruebas de las que un jugador típico puede llegar a experimentar.
• Variabilidad: Los resultados a corto plazo pueden desviarse significativamente de los valores esperados, dando lugar a experiencias que parecen contradecir la ley.
• Impacto individual: Mientras que los casinos confían en la ley de los grandes números para todos sus jugadores, los jugadores individuales pueden no jugar nunca el tiempo suficiente para ver una verdadera convergencia con los valores esperados.
• Factores psicológicos: Los sesgos cognitivos y las respuestas emocionales pueden llevar a decisiones que no se ajustan a la comprensión estadística.
• Elementos de habilidad: En los juegos con elementos de habilidad, el rendimiento individual puede influir en los resultados, desviándose potencialmente de las expectativas basadas puramente en el azar.
• Condiciones cambiantes: A diferencia de los experimentos estadísticos controlados, las condiciones de juego en el mundo real (reglas del juego, tamaño de las apuestas, etc.) pueden cambiar con el tiempo.

El juego responsable implica reconocer el poder y las limitaciones de los principios estadísticos, como la ley de los grandes números. Significa utilizar este conocimiento para tomar decisiones informadas, establecer expectativas realistas y mantener una perspectiva sana del juego como entretenimiento más que como una forma fiable de ganar dinero.

Conclusión

La ley de los grandes números es un principio fundamental que sustenta toda la industria del juego. Revela la realidad matemática que se esconde tras el brillo y la emoción del juego. Al tiempo que garantiza la rentabilidad a largo plazo de los casinos, también proporciona información valiosa para los jugadores individuales.

Para el jugador ocasional, este conocimiento puede aumentar el valor de entretenimiento de los juegos de azar mediante el establecimiento de expectativas realistas y evitar conceptos erróneos comunes. Para los propensos al juego problemático, puede servir como recordatorio aleccionador de la certeza matemática de la ventaja de la casa a lo largo del tiempo.

Recuerde, la casa puede tener la ventaja matemática en el gran casino del azar, pero el conocimiento es la mejor apuesta del jugador.

He aquí varios casinos en línea fiables.

Lecturas recomendadas sobre la ley de los grandes números en los juegos de azar

• "Las Matemáticas del Juego" de Edward O. Thorp
• "La fórmula de la fortuna: La historia no contada del sistema científico de apuestas que venció a los casinos y a Wall Street" de William Poundstone
• "Contra los dioses: la extraordinaria historia del riesgo", de Peter L. Bernstein.
• "Teoría del juego y lógica estadística" de Richard A. Epstein
• "Guía de probabilidades del juego: The Mathematics of Dice, Slots, Roulette, Baccarat, Blackjack, Poker, Lottery and Sport Bets" de Catalin Barboianu